微分公式都有哪些？

微分公式全集

微分是微积分的一个重要组成部分，它涉及到函数在某一点的变化率，即导数。在数学、物理、工程等多个领域，微分都扮演着至关重要的角色。以下是微分公式的一些基本形式和推导，涵盖了常见的初等函数以及链式法则、隐函数微分法等高级技巧。

一、基本初等函数的微分公式

1. 常数函数的微分

(C)' = 0

其中C为常数。

2. 幂函数的微分

(x^n)' = nx^(n-1)

特别地，当n=1时，(x)' = 1；当n=0时，(x^0)' = (1)' = 0，但需要注意x≠0（因为0的0次方在数学中是未定义的）。

3. 指数函数的微分

(a^x)' = a^x * lna

特别地，当a=e（自然对数的底数）时，(e^x)' = e^x。

4. 对数函数的微分

(log_a x)' = 1/(x * lna)

特别地，当a=e时，(ln x)' = 1/x。

5. 三角函数的微分

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(tan x)' = sec^2 x = 1/(cos^2 x)

(cot x)' = -csc^2 x = -1/(sin^2 x)

(sec x)' = sec x * tan x

(csc x)' = -csc x * cot x

6. 反三角函数的微分

(arcsin x)' = 1/√(1-x^2)

(arccos x)' = -1/√(1-x^2)

(arctan x)' = 1/(1+x^2)

(arccot x)' = -1/(1+x^2)

(arcsec x)' = 1/(x√(x^2-1))

(arccsc x)' = -1/(x√(x^2-1))

二、微分的基本法则

1. 加法法则

(u+v)' = u' + v'

2. 减法法则

(u-v)' = u' - v'

3. 乘法法则

(uv)' = u'v + uv'

4. 除法法则

(u/v)' = (u'v - uv')/v^2 （其中v≠0）

5. 链式法则

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

链式法则是复合函数求导的关键，它允许我们通过中间变量来求解复杂函数的导数。

三、高阶微分

高阶微分是指对函数进行多次微分的过程。例如，二阶微分是函数的一阶导数的导数，记为f''(x)。类似地，可以定义三阶、四阶等高阶微分。

1. 二阶微分公式

对于基本初等函数，其二阶微分可以直接通过一阶微分公式推导出来。例如，对于幂函数x^n，其二阶微分为(x^n)'' = n(n-1)x^(n-2)。

2. 莱布尼茨公式（高阶链式法则）

对于复合函数f(g(x))，其n阶微分可以通过莱布尼茨公式来计算，即

(f(g(x)))^n = Σ [C_n^k * f^(k)(g(x)) * (g(x))^(n-k)]

其中C_n^k是组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数；f^(k)(g(x))表示f(g(x))的k阶导数；(g(x))^(n-k)表示g(x)的(n-k)阶导数。

四、隐函数的微分

有时，我们遇到的函数关系并不是显式的，而是隐式的，即y通过某个方程与x相关联，而不是直接表示为x的函数。在这种情况下，我们可以使用隐函数的微分法来求解y关于x的导数。

1. 隐函数微分法的基本步骤

（1）将给定的隐函数方程整理为关于x和y的等式；

（2）对方程两边同时关于x求导，注意要使用链式法则和乘法法则等；

（3）解出dy/dx，即y关于x的导数。

2. 示例

考虑隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们可以将其改写为关于x和y的等式，并对两边同时关于x求导，得到

2x + 2y * dy/dx = 0

解出dy/dx，得到

dy/dx = -x/y

这就是隐函数y=√(1-x^2)（在第一象限）关于x的导数。

五、参数方程的微分

有时，一个函数y可以表示为另一个变量t的函数，而t又是x的函数。在这种情况下，我们可以使用参数方程的微分法来求解y关于x的导数。

1. 参数方程微分法的基本步骤

（1）写出参数方程y=f(t)和x=g(t)；

（2）对y和x分别关于t求导，得到dy/dt和dx/dt；

（3）利用链式法则求出dy/dx，即y关于x的导数，公式为dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)（其中dx/dt≠0）。

2. 示例

考虑参数方程x=t^2和y=2t，我们可以对x和y分别关于t求导，得到dx/dt=2t和dy/dt=2。然后利用链式法则求出dy/dx，得到

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = 2 / (2t) = 1/t

这就是参数方程表示的曲线在t处的切线斜率。

综上所述，微分公式涵盖了从基本初等函数到复杂复合函数、隐函数和参数方程的广泛领域。掌握这些公式和法则对于理解和应用微积分至关重要。无论是解决数学问题、进行物理计算还是进行工程设计，微分都为我们提供了强大的工具和方法。